حساب حجم الأشكال الهندسية - حاسبة الحجم

الكرة هي كائن هندسي ثلاثي الأبعاد يشبه دائرة ثنائية الأبعاد. إنها هيكل هندسي دائري تمامًا، رياضيًا، وهي مجموعة من النقاط التي تبعد بالمسافة نفسها عن نقطة مركزية، حيث يكون النصف القطري r هو المسافة بين النقطة المركزية وأي نقطة على الكرة. على الرغم من أن الكرة تشمل الفهم الشائع للكرة المستديرة، فإنها تمثل بشكل دقيق الشكل الهندسي.

كما هو الحال في الدائرة، يُشير القطر d إلى الخط الذي يربط نقطتين على الكرة من خلال مركزها، وهو أطول قطعة خط. يمكن حساب حجم الكرة باستخدام المعادلة التالية:

حجم = 4/3 × π × r³

مثال: ترغب دينا في ملء بالونة مائية كروية تمامًا بنصف قطرها 0.15 قدم بزيت الزيتون واستخدامها في معركة البالونات المائية ضد صديقتها المقربة سمية في نهاية هذا الأسبوع. يمكن حساب حجم زيت الزيتون المطلوب باستخدام المعادلة المقدمة أدناه:

حجم = 4/3 × π × (0.15)³ = 0.141 قدم³

المخروط هو شكل ثلاثي الأبعاد يتضاغط بسلاسة من قاعدته الدائرية عادةً إلى نقطة مشتركة تُسمى القمة (أو الفتحة). رياضيًا، يتم تشكيل المخروط بطريقة مشابهة للدائرة، عن طريق مجموعة من الخطوط المتصلة بنقطة مشتركة، باستثناء أن نقطة المركز لا تُشمل في المستوى الذي يحتوي على الدائرة (أو قاعدة أخرى). يُعتبر هنا فقط المخروط الدائري الحق النهائي المحدود. لن يتم التطرق هنا إلى المخروطات المكونة من نصف خطوط، قواعد غير دائرية، إلخ، التي تمتد إلى ما لا نهاية. المعادلة لحساب حجم المخروط هي كما يلي:

حجم = 1/3 × π × r² × h

حيث r هو نصف قطر القاعدة و h هو الارتفاع للمخروط

مثال: لينا عازمة على خروج من محل الآيس كريم بـ 5 دولارات حصلت عليها بجدارة. على الرغم من تفضيلها للبسكويت العادي، إلا أن المخروطات اللذيذة بالوافل لا شك في أنها أكبر بكثير. تقرر أن لديها تفضيلًا بنسبة 15٪ للمخروطات اللذيذة بالوافل أكثر من المخروطات العادية وتحتاج إلى حساب ما إذا كان حجم المخروط اللذيذ بالوافل يزيد عن 15٪ من حجم المخروط العادي. يمكن حساب حجم المخروط اللذيذ بقاعدة دائرية ونصف قطر 1.5 بوصة وارتفاع 5 بوصات باستخدام المعادلة أدناه:

حجم = 1/3 × π × 1.5² × 5 = 11.781 بوصة³

لينا تحسب أيضًا حجم المخروط العادي وتجد أن الفارق أقل من 15٪، وتقرر شراء المخروط العادي. الآن كل ما عليها فعله هو استخدام سحرها وجاذبيتها لإقناع الموظفين بتفريغ حاويات الآيس كريم في مخروطها.

المكعب هو النظير ثلاثي الأبعاد للمربع، وهو جسم محدود بست وجوه مربعة، حيث تلتقي ثلاث منها في كل ركن، وكلها متعامدة على وجوهها المتجاورة. يُعتبر المكعب حالة خاصة في العديد من تصنيفات الأشكال في الهندسة، بما في ذلك كونه متوازياً مستطيلياً، ومكعب ذو وجوه متساوية، ومكعب رومبويديًا صحيحًا. فيما يلي المعادلة لحساب حجم المكعب:

حجم = a³

حيث a هو طول حافة المكعب.

مثال: ليلى، التي وُلدت في ألاسكا (وتحلم بزيارة الشمس لمرة واحدة)، قررت زيارة موطنها الأم في هاواي. ساحرة بجمال الطبيعة الهاواية، قررت ليلى أن تأتي بجزء من هذا الجمال إلى منزلها. ليلى تحمل حقيبة سفر مكعبة بأضلاع طولها 3 أقدام، وتحسب حجم التربة التي يمكنها حملها معها بالطريقة التالية:

حجم = 3³ = 27 قدم³

الأسطوانة في تصميمها الأبسط تُعرف كسطح يتكون من نقاط على مسافة ثابتة من محور خط معين. في استخدامها الشائع، يشير مصطلح "أسطوانة" عادةً إلى أسطوانة دائرية صحيحة، حيث تكون قواعدها دوائر متصلة عبر مراكزها بمحور يتعامد على أسطح قواعدها، بارتفاع معين h ونصف قطر r. المعادلة لحساب حجم الأسطوانة تظهر أدناه:

حجم = πr²h

حيث r هو نصف القطر و h هو ارتفاع الأسطوانة.

مثال: يرغب زكريا في إنشاء قلعة رملية في غرفة معيشته، وبما أنه مؤيد قوي للبيئة، استعاد ثلاثة براميل أسطوانية من موقع تخلص غير قانوني وقام بتنظيفها من المواد الكيميائية باستخدام مسحوق الصحون والماء. تحمل هذه البراميل نصف قطر 3 قدم وارتفاع 4 قدم، ويقوم زكريا بحساب حجم الرمل الذي يمكن أن تستوعبه كل برميل باستخدام المعادلة أدناه:

حجم = π × 3² × 4 = 113.097 قدم³

نجح في بناء قلعة رملية رائعة في منزله، وكمكافأة إضافية، نجح في توفير الكهرباء في إضاءة الليل، حيث تتألق قلعته الرملية بلون أخضر فاتح في الظلام.

الصهريج المستطيل هو تشكيلة عامة للمكعب، حيث يمكن أن تكون الأضلاع ذات طول متفاوت. يحده ست وجوه، حيث تلتقي ثلاث منها في رؤوسه، وكلها متعامدة على وجوهها المتجاورة. المعادلة لحساب حجم المستطيل تظهر أدناه:

حجم = الطول × العرض × الارتفاع

مثال: ليلى تحب الكيك. تقوم بزيارة النادي الرياضي لمدة 4 ساعات يوميًا، كل يوم، لتعويض حبها للكيك. تخطط للقيام برحلة تسلق في جبل كالالاو في كاواي، ورغم أنها في حالة بدنية ممتازة، إلا أن ليلى تشعر بالقلق بسبب عدم وجود كيك. تقرر أن تحزم فقط الضروريات وترغب في ملء حقيبتها المستطيلة بطول وعرض وارتفاع 4 قدم و 3 أقدام و 2 أقدام على التوالي بالكيك. يتم حساب الحجم الدقيق للكيك الذي يمكنها وضعه في حقيبتها أدناه:

حجم = 2 × 3 × 4 = 24 قدم³

الكبسولة هي شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يتألف من أسطوانة واثنين من الأطراف الهمسفيرية، حيث يعتبر الهمسفير نصف كرة. ونتيجة لذلك، يمكن حساب حجم الكبسولة عن طريق دمج معادلات حجم الكرة وأسطوانة الدائرة الصحيحة:

حجم = πr²h + 4/3πr³ = πr²(4/3r + h)

حيث r هو نصف القطر و h هو ارتفاع الجزء الأسطواني.

مثال: بناءً على كبسولة بنصف قطر 1.5 قدم وارتفاع 3 أقدام، حدد حجم مكعبات الشوكولاتة المذابة التي يمكن لجو حملها في الكبسولة الزمنية التي يرغب في دفنها للأجيال القادمة في رحلته لاكتشاف ذاته عبر جبال الهملايا:

حجم = π × 1.5² × 3 + 4/3 × π × 1.5³ = 35.343 قدم³

المخروط المستوي هو الجزء من الجسم الصلب الذي يتبقى عندما يتم قطع المخروط بواسطة سطحين متوازيين. تقوم هذه الحاسبة بحساب حجم المخروط المستوي الصحيح بشكل خاص. أمثلة على المخروطات المستوية في الحياة اليومية تشمل مظلات اللمبات وحاويات المياه وبعض أكواب الشرب.

يتم حساب حجم المخروط المستوي الصحيح باستخدام المعادلة التالية:

الحجم = (1/3) × πh(r² + rR + R²)

حيث r و R هما شعاعي قواعد المخروط، و h هو ارتفاع المخروط.

مثال:

أحلام اقتنت بنجاح بعض الآيس كريم في قرون السكر، وتناولته بطريقة تترك الآيس كريم داخل القرن بشكل مضغوط، وتكون سطح الآيس كريم مستويًا ومتوازيًا لسطح فتحة القرن. أحلام على وشك أن تبدأ في تناول قرنها والآيس كريم المتبقي عندما يمسك أخوها القرن ويقضم قسمًا من قاع القرن الذي يكون متوازيًا تمامًا مع الفتحة السابقة. الآن تظل أحلام بمخروط مستوي صحيح يتسرب منه الآيس كريم، وعليها حساب حجم الآيس كريم الذي يجب عليها تناوله بسرعة نظرًا لوجود ارتفاع قدره 4 بوصات، وشعاعي القاع 1.8 بوصة و 0.3 بوصة.

الحجم = (1/3) × π × 4(0.3² + 0.3 × 1.8 + 1.8²) = 12.547 بوصة مكعبة

الشكل البيضوي هو الشكل الثلاثي الأبعاد الذي ينشأ عن تشوه الكرة بفضل تغيير مقياس العناصر الاتجاهية. يتم تحديد مركز الشكل البيضوي عند نقطة تقاطع ثلاثة محاور تماثل متعامدة، ويطلق على الخطوط التي تحدد هذه المحاور اسم المحاور الرئيسية. إذا كانت لديها طول مختلف لكل ثلاثة، يتم وصف الشكل البيضوي عادة كثلاثي الأمور المحورية. المعادلة لحساب حجم الشكل البيضوي هي كما يلي:

الحجم = (4/3) × πabc

حيث a و b و c هي طول المحاور.

مثال:

ليلى تحب فقط تناول الحلوى، ولكن أمها ترغب في مراقبة كمية الحلوى التي تأكلها. تسمح لها والدتها بأكل الحلوى التي تتناسب داخل كعكة بشكل إليبسويد. تقوم ليلى بنحت الكعكة لتحقيق الحد الأقصى من حجم الحلوى التي يمكنها وضعها في الكعكة. بعد أن وجدت أن الكعكة لديها طول محاور قدره 2.5 بوصة و 3 بوصة و 6 بوصات، تقوم ليلى بحساب حجم الحلوى التي يمكنها وضعها في الكعكة المنحوتة كما يلي:

الحجم = (4/3) × π × 2.5 × 3 × 6 = 94.247 بوصة مكعبة

في الهندسة الرياضية، الهرم هو شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من توصيل قاع مضلع إلى نقطة تُعرف بقمته. الشكل المضلع هو شكل مستوٍ يحدده عدد من الخطوط المستقيمة. يمكن أن يكون هناك أشكال مختلفة للأساس للهرم، والهرم الرباعي يحدد أساساً بشكل مربع. موقع القمة يميز أنواعًا مختلفة من الأهرامات، حيث يكون للهرم الصحيح قمة مباشرة فوق مركز قاعده. يمكن حساب حجم الهرم، بغض النظر عن موقع القمة، باستخدام الصيغة التالية:

حجم الهرم العام:

الحجم = (1/3) × bh

حيث b هي مساحة القاعدة، و h هو الارتفاع.

حجم الهرم الرباعي:

الحجم = (1/3) × a²h

حيث a هو طول حافة القاعدة.

مثال:

يعشق آدم الحضارات القديمة ويشعر بإعجاب خاص بالهياكل مثل الأهرامات. كونه الأكبر بين إخوته واحد، اثنان، وثلاثة، يستطيع توجيههم بسهولة. استفادةً من ذلك، يقرر آدم إعادة إحياء العصور القديمة ويجعل إخوته يتظاهرون بأنهم عمال يقومون ببناء هرم من الطين بطول 5 أقدام وارتفاع 12 قدمًا، ويمكن حساب حجم هذا الهرم باستخدام الصيغة للهرم الرباعي:

الحجم = (1/3) × 5² × 12 = 100 قدم مكعبة

الأنبوب، يُشار إليه في كثير من الأحيان بالأنبوب، هو أسطوانة مجوفة تُستخدم غالبًا لنقل السوائل أو الغاز. يشمل حساب حجم الأنبوب أساسًا نفس الصيغة المستخدمة لحساب حجم الأسطوانة (الحجم = πr²h)، باستثناء أنه في هذه الحالة يتم استخدام القطر بدلاً من النصف القطر، ويتم استخدام الطول بدلاً من الارتفاع. لذا تشمل الصيغة قياس قطري الأسطوانة الداخلية والخارجية، حساب حجم كل منها، وطرح حجم الأسطوانة الداخلية من حجم الخارجية. بناءً على استخدام الطول والقطر المذكورين أعلاه، تُظهر الصيغة لحساب حجم الأنبوب أدناه:

الحجم = π × (d₁² - d₂²) / 4 × l

حيث d₁ هو القطر الخارجي، و d₂ هو القطر الداخلي، و l هو طول الأنبوب.

مثال:

ندى ملتزمة بالحفاظ على البيئة، حيث تستخدم مواد صديقة للبيئة في شركتها للبناء. أحد العملاء لديه منزل عطلات في الغابة ويرغب في بناء طريق عبر جدول مائي دون التأثير على مكانه المفضل لصيد الأسماك. ندى تخطط لبناء أنبوب عبر الجدول لتجاوز السدود الناتجة عن القنادس. يمكن حساب حجم الخرسانة ذات التأثير المنخفض اللازمة لبناء أنبوب بقطر خارجي 3 أقدام، وقطر داخلي 2.5 أقدام، وطول 10 أقدام كما يلي:

الحجم = π × (3² - 2.5²) / 4 × 10 = 21.6 قدم³