حاسبة المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية هي أي معادلة يمكن كتابتها بالصورة ax² + bx + c = 0، حيث a وb وc أعداد ثابتة وa لا يساوي صفراً. حلّها يعني إيجاد قيم x التي تجعل طرف المعادلة يساوي صفراً، وهي هندسياً النقاط التي يقطع فيها منحنى القطع المكافئ y = ax² + bx + c محور السينات.

القانون العام (الصيغة التربيعية) الذي يحل أي معادلة تربيعية مهما كانت معاملاتها هو:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

يُشتق هذا القانون من طريقة "إكمال المربع"، وهو مضمون النجاح مع أي معادلة تربيعية مهما بدت معقدة، على عكس التحليل إلى عوامل الذي لا ينجح دائماً بسهولة.

في الفيزياء:

• حركة المقذوفات: ارتفاع جسم مقذوف رأسياً يُوصف بمعادلة تربيعية في الزمن، وحلها يعطي لحظة وصوله إلى الأرض
• السقوط الحر والجاذبية: حساب زمن سقوط جسم من ارتفاع معين

في الهندسة والعمارة:

• تصميم الأقواس والجسور: الكابلات المعلقة والأقواس الإنشائية غالباً ما تتبع شكل القطع المكافئ
• الأطباق اللاقطة والمرايا المكافئة: تصميمها يعتمد على خواص القطع المكافئ لتجميع الإشارات أو الضوء في نقطة واحدة

في الاقتصاد وإدارة الأعمال:

• تعظيم الربح: عندما تكون دالة الربح تربيعية، فإن رأس القطع المكافئ يحدد سعر البيع الذي يعطي أعلى ربح ممكن
• تحليل نقطة التعادل: إيجاد كميات الإنتاج التي تجعل الإيرادات تساوي التكاليف

في الرياضة وألعاب الفيديو:

• مسار الكرة: في كرة القدم أو السلة، يتبع مسار الكرة في الهواء منحنى قطع مكافئ يمكن نمذجته بمعادلة تربيعية
• محركات الفيزياء في الألعاب: حساب نقاط الاصطدام والقفز يعتمد غالباً على حل معادلات تربيعية في الزمن الحقيقي

قبل حل المعادلة كاملة، يمكنك معرفة نوع جذورها فقط من إشارة المميز D = b² - 4ac:

مثال 1: جذران حقيقيان مختلفان

المعادلة: x² - 3x + 2 = 0 (أي a=1، b=-3، c=2)

مثال 2: جذر مكرر (المميز = صفر)

المعادلة: x² - 4x + 4 = 0 (a=1، b=-4، c=4)

مثال 3: جذران تخيليان (المميز سالب)

المعادلة: x² + 2x + 5 = 0 (a=1، b=2، c=5)

مثال 4: تطبيق فيزيائي (حركة مقذوف)

ارتفاع كرة بالقدم بعد قذفها لأعلى يُعطى بالمعادلة h(t) = -16t² + 64t + 80 (a=-16، b=64، c=80). متى تصل الكرة إلى الأرض (h=0)؟

• تأكد أن a ≠ 0: وإلا فالمعادلة خطية وليست تربيعية، ولا يصح استخدام القانون العام
• انتبه لإشارة b: خطأ شائع جداً هو نسيان أن الحد -b في القانون العام يعكس إشارة b الأصلية
• لا تنسَ الجذر الثاني: إشارة ± تعني وجود جذرين غالباً، ونسيان أحدهما خطأ متكرر عند الطلاب
• افحص المميز أولاً: يوفر عليك الوقت لمعرفة نوع الجذور قبل إجراء الحساب الكامل
• قوانين فييتا مفيدة للتحقق: مجموع الجذرين = -b/a، وحاصل ضربهما = c/a، استخدمها للتأكد من صحة حلك

المميز D = b² - 4ac يحدد نوع الجذور دون الحاجة لحل المعادلة كاملة. D موجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين، D يساوي صفراً يعني جذراً واحداً مكرراً، وD سالب يعني جذرين تخيليين مترافقين لا يقطعان محور x.

يختفي الحد التربيعي وتتحول المعادلة إلى معادلة خطية bx + c = 0، ولا يصح تطبيق القانون العام لأن القسمة على 2a تصبح قسمة على صفر وهي عملية غير معرّفة رياضياً. لهذا تمنع الحاسبة إدخال a = 0.

عندما يكون المميز سالباً، يظهر جذر تربيعي لعدد سالب، ويُعبَّر عنه بالوحدة التخيلية i حيث i² = -1. تكون الجذور حينها زوجاً مترافقاً على صورة p ± qi، وهذا يعني هندسياً أن القطع المكافئ لا يمس محور x في أي نقطة لأنه بأكمله فوق المحور أو تحته.

إحداثي الرأس السيني h = -b/(2a)، وهو نفسه معادلة محور التماثل. بعد إيجاد h، عوّض بقيمته في المعادلة الأصلية لتحصل على k = a×h² + b×h + c، وهو الإحداثي الصادي للرأس. هذه الطريقة أسرع بكثير من إكمال المربع يدوياً.

بغض النظر عن نوع الجذور، ينطبق دائماً: مجموع الجذرين x₁+x₂ = -b/a، وحاصل ضربهما x₁×x₂ = c/a. هذه العلاقات تُسمى قوانين فييتا وتُستخدم للتحقق السريع من صحة الحل دون إعادة حساب القانون العام بالكامل.

نعم، وذلك عندما يكون المميز صفراً بالضبط. في هذه الحالة يتساوى الجذران رياضياً (يُسمى "جذراً مكرراً" أو "جذراً مزدوجاً")، وهندسياً يعني أن قمة القطع المكافئ تلامس محور x في نقطة واحدة بالضبط دون أن تعبره.

عندما تكون الجذور حقيقية، فهي بالضبط نفس نقاط تقاطع المنحنى مع محور x (لأن y=0 عند الجذور). لكن عندما تكون الجذور تخيلية، تبقى "حلولاً" رياضياً صحيحة للمعادلة رغم أن المنحنى لا يقطع المحور فعلياً في أي نقطة مرئية على الرسم.

نعم تماماً. الحاسبة والرسم البياني يعملان بسلاسة على الهواتف الذكية والأجهزة اللوحية دون الحاجة لتثبيت أي تطبيق، وتُحدَّث النتائج والمنحنى فور تغيير أي معامل.