قوانين اللوغاريتمات وحل المعادلات اللوغاريتمية

إعداد فريق موقع احسب · آخر تحديث: 17 أكتوبر 2026 · 7 دقائق قراءة

اللوغاريتمات تبدو مخيفة في البداية، لكنها مجرد طريقة أخرى لكتابة الأسس. في هذا الدليل نشرح معنى اللوغاريتم، وقوانينه السبعة مع قانون تغيير الأساس، والأخطاء التي يقع فيها الطلاب، ثم نحل المعادلات اللوغاريتمية بثلاث طرق مع أمثلة خطوة بخطوة.

log₂8 = 3لأن 2³ = 8

7قوانين أساسية

lnاللوغاريتم بالأساس e ≈ 2.718

x > 0شرط ما داخل اللوغاريتم

محتويات التقرير

ما هو اللوغاريتم؟
قوانين اللوغاريتمات السبعة
كيف تحل المعادلات اللوغاريتمية؟
استخدام اللوغاريتم لإيجاد الأس المجهول
أسئلة شائعة

ما هو اللوغاريتم؟

اللوغاريتم هو السؤال المعاكس للأس. الأس يسأل: كم يساوي 2 مرفوعاً للقوة 3؟ والجواب 8. أما اللوغاريتم فيسأل: إلى أي قوة نرفع 2 لنحصل على 8؟ والجواب 3.

log_b(x) = y ⟺ b^y = x

حيث b هو الأساس، ويجب أن يكون موجباً ولا يساوي 1، وx موجب دائماً. وأشهر أساسين: الأساس 10 (اللوغاريتم العشري ويُكتب log فقط)، والعدد e ≈ 2.718 (اللوغاريتم الطبيعي ويُكتب ln)، ولهما خاصيتان مهمتان: e^{ln x} = x و ln(e^x) = x.

ولماذا اخترعها الرياضيون؟ لأنها تحوّل الضرب إلى جمع، والقوى إلى ضرب، وكان هذا قبل الحاسبات اختصاراً هائلاً للحسابات الفلكية والملاحية.

قوانين اللوغاريتمات السبعة

القانون	الصيغة	بالكلمات
الضرب	log_b(A·B) = log_b A + log_b B	لوغاريتم حاصل الضرب = مجموع اللوغاريتمات
القسمة	log_b(A/B) = log_b A − log_b B	لوغاريتم القسمة = الفرق بين اللوغاريتمين
القوة	log_b(Aᵏ) = k · log_b A	الأس ينزل ليصبح معاملاً
الصفر	log_b(1) = 0	لأن أي أساس مرفوع للقوة صفر = 1
الهوية	log_b(b) = 1	لوغاريتم الأساس لنفسه = 1
معكوس اللوغاريتم	log_b(bᵏ) = k	اللوغاريتم يلغي الأس
معكوس الأس	b^(log_b k) = k	الأس يلغي اللوغاريتم

قانون تغيير الأساس

log_b(x) = log_c(x) ÷ log_c(b)

يسمح لك بحساب لوغاريتم أي أساس بالآلة الحاسبة التي فيها log وln فقط. فمثلاً log₂(10) = ln 10 ÷ ln 2 ≈ 3.32. ويعني أيضاً أن كل اللوغاريتمات متناسبة: لوغاريتم أي عدد بأساس ما = لوغاريتمه بأساس آخر × رقم ثابت.

أمثلة على تطبيق القوانين

log₂(8·4) = log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5

log₅(125^1/3) = ⅓ · log₅(5³) = ⅓ · 3 = 1

log(50) + log(2) = log(100) = 2

أخطاء شائعة

log(A + B) لا تساوي log A + log B؛ قانون الضرب للضرب فقط.
log A ÷ log B لا تساوي log(A − B) ولا log(A/B).
(log A)² لا تساوي 2 log A؛ قانون القوة يخص الأس داخل اللوغاريتم.

كيف تحل المعادلات اللوغاريتمية؟

هناك ثلاث طرق رئيسية، وغالباً تحتاج قوانين اللوغاريتمات أولاً لتبسيط المعادلة:

1. مساواة ما داخل اللوغاريتم

إذا كان الطرفان لوغاريتمين بالأساس نفسه، فما بداخلهما متساوٍ: log_aM = log_aN ⟹ M = N.

مثال: حل log₃(2x − 2) + log₃(½) = log₃(3 − x)

نجمع اليسار بقانون الضرب: log₃((2x − 2) · ½) = log₃(3 − x)
نبسّط: log₃(x − 1) = log₃(3 − x)
نساوي ما بالداخل: x − 1 = 3 − x
2x = 4، إذن x = 2
التحقق: x − 1 = 1 و 3 − x = 1، وكلاهما موجب، فالحل مقبول.

2. التحويل إلى الصورة الأسية

إذا كان اللوغاريتم يساوي عدداً: log_aM = C ⟹ M = a^C، وln M = B ⟹ M = e^B.

مثال: حل log₂(x + 3) = 5

x + 3 = 2⁵ = 32، إذن x = 29.

3. تغيير الأساس

عندما يختلف الأساسان في الطرفين، نحوّلهما إلى أساس واحد (10 أو e).

مثال: حل log₂(x) = log₅(9)

نكتب الطرفين بـln: ln x ÷ ln 2 = ln 9 ÷ ln 5
ln x = (ln 9 ÷ ln 5) · ln 2
x = e^{(ln 9 ÷ ln 5) · ln 2} ≈ 2.58

لا تنسَ التحقق من الحل

اللوغاريتم غير معرّف للصفر والأعداد السالبة، لذلك عوّض كل حل في المعادلة الأصلية. مثلاً log(x) + log(x − 3) = 1 تعطي جبرياً x = 5 أو x = −2، لكن x = −2 تجعل ما داخل اللوغاريتم سالباً، فهو حل مرفوض، والحل الوحيد x = 5.

احسب أي لوغاريتم بأي أساس في حاسبة اللوغاريتم.