الميل: الموجب والسالب ومعادلة المستقيم
إعداد فريق موقع احسب · آخر تحديث: · 7 دقائق قراءة
الميل من أول ما تدرسه في الهندسة التحليلية، ويظهر بعدها في الفيزياء والاقتصاد وقراءة أي رسم بياني. في هذا الدليل نشرح معنى الميل وأنواعه الأربعة، وكيف تعرف إشارته من الرسم أو المعادلة أو نقطتين، وكيف تكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع، مع تمارين محلولة.
ما هو الميل؟
الميل رقم يصف انحدار المستقيم: كم يرتفع أو ينخفض كلما تحركنا خطوة واحدة إلى اليمين. ويُحسب من أي نقطتين على المستقيم (x₁, y₁) و(x₂, y₂):
أي «الارتفاع ÷ المسافة الأفقية». مستقيم يرتفع 5 وحدات كلما تحرك 3 وحدات يميناً ميله 5/3.
الميل الموجب والسالب
| ميل موجب | ميل سالب | |
|---|---|---|
| شكل المستقيم | يصعد من اليسار إلى اليمين | ينزل من اليسار إلى اليمين |
| قيمة m | m > 0 | m < 0 |
| مثال | y = 4x − 3 | y = −4x − 2 |
| العلاقة | كلما زاد x زاد y | كلما زاد x نقص y |
| من الحياة | المسافة المقطوعة مع الوقت | الوقود المتبقي في الخزان مع المسافة |
وهناك حالتان خاصتان: الميل صفر لمستقيم أفقي مثل y = 3 (لا يتغير y مهما تغير x)، والميل غير المعرّف لمستقيم رأسي مثل x = 2، لأن المسافة الأفقية صفر والقسمة على صفر غير ممكنة.
كيف تعرف إشارة الميل؟
من الرسم
اقرأ المستقيم من اليسار إلى اليمين: إن صعد فالميل موجب، وإن نزل فسالب.
من المعادلة
اجعل y وحدها في طرف، ثم انظر إلى معامل x:
- y = −(3/7)x + 2: الميل −3/7، سالب.
- y = 6x − 1/3: الميل 6، موجب.
- 3x + ½y = 6: نعزل y فتصبح y = −6x + 12، الميل −6، سالب.
من نقطتين
الميل 9/8، موجب. لاحظ أن سالباً على سالب يعطي موجباً، وهي نقطة يخطئ فيها كثيرون.
احسب الميل من أي نقطتين في حاسبة الميل.
صيغة الميل والمقطع y = mx + b
حيث m الميل وb المقطع الصادي، أي النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور y عند (0, b). وهذه الصيغة هي الأسهل للرسم والمقارنة، لأنها تعطيك الميل ونقطة على المستقيم مباشرة.
1. من الصيغة العامة Ax + By = C
انقل حد x إلى اليمين ثم اقسم على B: y = (−A/B)x + C/B.
الميل −3/2، والمقطع (0, 3).
2. من نقطتين
- احسب الميل من النقطتين.
- عوّض الميل وإحدى النقطتين في صيغة الميل والنقطة: y − y₁ = m(x − x₁).
- رتّب المعادلة لتصبح y = mx + b.
- m = (13 − (−1)) ÷ (6 − 2) = 14/4 = 7/2
- y − (−1) = (7/2)(x − 2) ⟹ y + 1 = (7/2)x − 7
- y = (7/2)x − 8
- تحقق بالنقطة B: (7/2)(6) − 8 = 13 ✓
3. من الرسم
اقرأ المقطع من نقطة تقاطع المستقيم مع محور y، ثم عدّ كم يرتفع المستقيم مع كل مربع إلى اليمين. هذه الطريقة سريعة لكنها لا تصلح إذا لم يمر المستقيم بنقاط واضحة على الشبكة.
تمارين مع الحل
حوّل كل معادلة إلى صيغة الميل والمقطع، ثم قارن بالحل:
x/4 + y/3 = 2
الميل −3/4 (سالب)، والمقطع (0, 6)
0 = 6x − 3y + 2
الميل 2 (موجب)، والمقطع (0, 2/3)
(8/3)x − (1/2)y = 7
الميل 16/3 (موجب)، والمقطع (0, −14)
حاسبات تفيدك
أسئلة شائعة
كيف أعرف أن الميل موجب أم سالب؟
من الرسم: الصاعد من اليسار لليمين موجب والنازل سالب. ومن المعادلة: اجعل y وحدها وانظر إلى إشارة معامل x. ومن نقطتين: احسب (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) وانظر إلى إشارة الناتج.
ما هي صيغة الميل والمقطع؟
y = mx + b، حيث m الميل وb المقطع الصادي، أي قيمة y عندما x = 0.
ما ميل المستقيم الرأسي؟
غير معرّف، لأن المسافة الأفقية بين أي نقطتين عليه صفر، ولا يمكن القسمة على صفر.
كيف أوجد معادلة المستقيم من نقطتين؟
احسب الميل m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)، ثم عوّض في y − y₁ = m(x − x₁) ورتّب المعادلة لتصبح y = mx + b.